Question

10．设数列{a_n}的前n项为S_n，且满足2S_n-na_n=10n．证明数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 当n=1时，求得a₁=10，再将n换成n-1，相减后，再将n换成n-1，化简整理，结合等差数列的性质和定义，即可得证．

解答 证明：当n=1时，a₁=S₁，且2S₁-a₁=10．
解得a₁=10，
当n＞1时，2S_n-na_n=10n，
即有2S_n-1-（n-1）a_n-1=10（n-1）．
两式相减，可得2a_n-na_n+（n-1）a_n-1=10，
将n换成n-1可得，2a_n-1-（n-1）a_n-1+（n-2）a_n-2=10，
即有（2-n）a_n+（n-1）a_n-1=（3-n）a_n-1+（n-2）a_n-2，
（2-n）a_n-2+（2-n）a_n=2（2-n）a_n-1．
即为a_n-2+a_n=2a_n-1．即有a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁．
由等差数列的定义可得，数列{a_n}是等差数列．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等差数列的判断：运用等差中项，考查推理能力，属于中档题．