Question

5．如图，已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，P、Q在渐近线上，PQ的中垂线过点F，O是坐标原点，若∠PFQ=Rt∠，OQ=3OP，则双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 取PQ的中点A，连接AF，则AF⊥PQ，确定OA=2AF，由勾股定理可得AF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$c，利用AF=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b，即可得出结论．

解答 解：取PQ的中点A，连接AF，则AF⊥PQ，
∵∠PFQ=Rt∠，OQ=3OP，
∴OA=2AF，
由勾股定理可得AF²+OA²=c²，
∴AF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$c，
∵AF=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b，
∴b=$\frac{1}{\sqrt{5}}$c，
∴a=$\frac{2}{\sqrt{5}}$c，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．