Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）当x=$\frac{π}{2}$时，求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|的值；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2$λ|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的最小值是-$\frac{3}{2}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由于$|\overrightarrow{a}|$=1，$|\overrightarrow{b}|$=1.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos2x．|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$．
（2）$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$，f（x）=2（|cosx|-λ）²-2λ²-1，分类讨论：当λ＞1时，当λ＜0时，当0≤λ≤1时，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+（-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=1．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}$-$sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}$=cos2x=cosπ=-1．
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{1+1-2×（-1）}$=2．
（2）$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2$λ|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-4λ|cosx|-1
=2（|cosx|-λ）²-2λ²-1，
当λ＞1时，当|cosx|=1时，f（x）取得最小值2-4λ-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$．
当λ＜0时，当|cosx|=0时，f（x）取得最小值-1≠-$\frac{3}{2}$，舍去．
当0≤λ≤1时，当|cosx|=λ时，f（x）取得最小值-2λ²-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$±\frac{1}{2}$．
综上可得：λ=$\frac{5}{8}$，或$±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．