Question

2．若点P（x，y）在圆x²+y²-2x-2y+1=0上，则$\frac{x+1}{y}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 $\frac{x+1}{y}$表示圆上的点（x，y）与点A（-1，0）连线的斜率的倒数．设过点A的圆的切线斜率为k，用点斜式求得圆的切线方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得k的值，可得k的最大值，从而求得$\frac{1}{k}$的最小值．

解答 解：圆x²+y²-2x-2y+1=0，即圆（x-1）²+（y-1）² =1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．
而$\frac{x+1}{y}$表示圆上的点（x，y）与点A（-1，0）连线的斜率的倒数．
设过点A的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y-0=k（x+1），即 kx-y+k=0．
再根据圆心到切线的距离等于半径，可得$\frac{|k-1+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=0或 k=$\frac{4}{3}$，
故k的最大值为$\frac{4}{3}$，∴$\frac{1}{k}$的最小值为$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查圆的一般方程，直线的斜率公式，用点斜式求直线方程，直线和圆相切的性质、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．