Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$+x）+sin（π+x）sinx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设A，B，C是△ABC的三个内角，且f（$\frac{A}{2}$）=0，f（$\frac{B}{2}$）=$\frac{1}{10}$，求f（$\frac{C}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据三角函数图象与性质求得函数的最小正周期和单调增区间．
（2）根据题意分别求得sin（A+$\frac{π}{6}$）和sin（B+$\frac{π}{6}$）的值，进而求得cos（A+$\frac{π}{6}$）和cos（B+$\frac{π}{6}$）的值，利用两角和公式求得sin（C+$\frac{π}{6}$），则f（$\frac{C}{2}$）的值可得．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
当2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$时，即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$时，k∈Z，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（2）f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=0，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理f（$\frac{B}{2}$）=sin（B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∴cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（A+B+$\frac{π}{3}$）=cos（A+$\frac{π}{6}$）cos（B+$\frac{π}{6}$）-sin（A+$\frac{π}{6}$）sin（B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
sin（C+$\frac{π}{6}$）=sin（π-A-B+$\frac{π}{2}$$-\frac{π}{3}$）=-cos（A+B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
∴f（$\frac{C}{2}$）=sin（C+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}-5}{10}$=-$\frac{2\sqrt{3}+1}{5}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题过程中注意公式的熟练运用．