Question

3．设a_n=$\frac{1}{n}$sin$\frac{nπ}{5}$，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，正数的个数是（　　）

• A． 806
• B． 1007
• C． 1612
• D． 2014

Answer 1

分析 首先求出函数的周期，结合正弦函数的图象可得前4项为正，第5项为0，由诱导公式可得第6至9项为负，第10项为0，再由f（n）=$\frac{1}{n}$单调递减可得数列的S₁，S₂，…，S₁₀都为正，同理可得S₁，S₂，…，S₂₀₁₄均为正．

解答 解：由于a_n=$\frac{1}{n}$sin$\frac{nπ}{5}$的周期T=10，
由正弦函数性质可知，a₁，a₂，…，a₄＞0，a₅=0，a₆，a₇，…，a₉＜0，a₁₀=0，
且sin$\frac{6π}{5}$=-sin$\frac{π}{5}$，sin$\frac{7π}{5}$=-sin$\frac{2π}{5}$，…，
而f（n）=$\frac{1}{n}$单调递减，
a₆…a₉都为负数，但是|a₆|＜a₁，|a₇|＜a₂，…，|a₉|＜a₄，
∴S₁，S₂，…，S₅中都为正，而S₆，S₇，…，S₁₀都为正，
同理S₁₁，S₁₂，…，S₂₀都为正，
S₁，S₂，…，S₂₀₁₄都为正，
故选：D．

点评 本题考查由数列的通项公式求数列的前n项和，考查三角函数的图象和性质，关键是对于规律的发现，是中档题．