Question

18．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{1}{7}$．
（1）求sinC的值；
（2）若2c=b+2，求三边的长a、b、c．

Answer 1

分析 （1）由已知可求先求sinA，cosA，sinB，从而由两角和的正弦函数公式即可得解．
（2）利用正弦定理写出ab关系式，结合已知条件与余弦定理即可求出b的值．

解答 解：（1）由∠A=$\frac{π}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$\frac{1}{2}$，由cosB=$\frac{1}{7}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
所以，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
（2）∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$，解得a=$\frac{7b}{8}$…①，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，…②
∵2c=b+2，可得c=$\frac{b}{2}$+1…③，
①③代入②可得：$\frac{49}{64}$b²=b²+（$\frac{b}{2}$+1）²-b（$\frac{b}{2}$+1），
化简整理得：b²=64，
解得b=8．从而由③可求：c=5，由①可求a=7．

点评 本题主要考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查基本知识的应用以及计算能力，综合性较强，属于中档题．