Question

12．若把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2asinθ（a＞0），又直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）在直角坐标系xOy中，已知点P（-4，-2），直线l与曲线C相交于M，N两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用关系式x=ρcosθ，y=ρsinθ把极坐标方程转化成直角坐标方程，消t后把直线的参数方程化为普通方程；
（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．

解答 解：（1）由ρcos²θ=2asinθ，得ρ²cos²θ=2aρsinθ，
即x²=2ay；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t得，x-y+2=0；
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²=2ay，得$（-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}=2a•（-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t）$，
整理得：${t}^{2}-（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）t+8a+32=0$．
由根与系数关系得：${t}_{1}+{t}_{2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a，{t}_{1}{t}_{2}=8a+32$．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}=|{t}_{1}{t}_{2}|$，即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-5{t}_{1}{t}_{2}=0$．
∴$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）^{2}-5（8a+32）=0$，解得：a=1或a=-4（舍）．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，利用根和系数的关系建立方程组求解，等比数列的应用，是中档题．