Question

16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c满足b²=a²+c²-ac，若AC=2$\sqrt{3}$，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答 解：∵b²=a²+c²-ac，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，
∴B=$\frac{π}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵b=2$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：12=b²=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤3$\sqrt{3}$，
则△ABC面积的最大值为3$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．