Question

7．在△ABC中，B（4，0），C（-4，0）动点A满足sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA则动点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$（x＞2）．

Answer 1

分析 △ABC中，利用正弦定理，将sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA转化为b-c=$\frac{1}{2}$a，再由双曲线的概念即可求其轨迹方程．

解答 解：∵B（4，0），C（-4，0）是△ABC 的两个顶点，内角A、B、C满足sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA，
∴由正弦定理得b-c=$\frac{1}{2}$a，即|AC|-|AB|=$\frac{1}{2}$|BC|=4，
∴点A在以B（4，0），C（-4，0）为焦点，即2c=8，c=4；实轴长为4，即a=2的双曲线的右支上，
∴b²=c²-a²=16-4=12．
又A、B、C构成三角形，故点C与A，B不共线，
∴顶点A的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$（x＞2）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$（x＞2）．

点评 本题考查正弦定理，考查双曲线的概念与标准方程，考查理解与运算能力，属于中档题．