Question

17．f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上单调递减，则b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，+∞）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 求出原函数的定义域，要使原函数在定义域内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，
只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围．

解答 解：由x+2＞0，得x＞-2，所以函数f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）的定义域为（-2，+∞），
再由f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+bln（x+2），得：$f'（x）=-x+\frac{b}{x+2}=\frac{-{x}^{2}-2x+b}{x+2}$
要使函数f（x）在其定义域内是单调减函数，则f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因为x+2＞0，
令g（x）=x²+2x-b，则g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为x=-1，
所以只有当△=2²+4×b≤0，即b≤-1时，g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为：D

点评 本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0．此题是中档题．