Question

20．求函数f（x）=sin²xcosx的最大值．

Answer 1

分析 令 t=cosx∈[-1，1]，求得f（x）=g（t）=t-t³，利用导数研究函数g（t）的单调性，从而求得g（t）的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=sinx²cosx=cosx（1-cos²x），令 t=cosx∈[-1，1]，
则f（x）=g（t）=t-t³，令g′（t）=1-3t²=0，求得t=±$\frac{1}{3}$．
在（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）上，g′（t）＞0，故g（t）的一个增区间为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）；
在[-1，-$\frac{1}{3}$）、（$\frac{1}{3}$，1]上，g′（t）＜0，故g（t）减区间为[-1，-$\frac{1}{3}$）、（$\frac{1}{3}$，1]．
再根据g（-1）=0，g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{8}{27}$，可得g（t）的最大值为g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{8}{27}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求函数的最值，属于中档题．