Question

15．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求证：{a_n-n}是等比数列；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，变形a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可证明；
（2）由（1）可得：${a}_{n}-n={2}^{n-1}$，可得${a}_{n}=n+{2}^{n-1}$．b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$．令T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1．∴{a_n-n}是等比数列，首项为1，公比为2．
（2）解：由（1）可得：${a}_{n}-n={2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=n+{2}^{n-1}$．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$．
令T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴S_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}n$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了不懈努力、推理能力与计算能力，属于中档题．