Question

10．已知函数f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+2}{{x}^{2}+1}$在（$\frac{1}{4}$，1）上有意义，求整数m的最小值．

Answer 1

分析 由对数函数的定义域可得mx²+8x+2＞0在（$\frac{1}{4}$，1）上恒成立，运用参数分离和二次函数的值域求法，结合恒成立思想，即可得到所求最小值．

解答 解：由函数f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+2}{{x}^{2}+1}$，可得
$\frac{m{x}^{2}+8x+2}{{x}^{2}+1}$＞0即为mx²+8x+2＞0，
在（$\frac{1}{4}$，1）上恒成立，
即有-m≤$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{x}$，
令g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{x}$，$\frac{1}{4}$＜x＜1，
由g（x）=2（$\frac{1}{x}$+2）²-8，
即有g（x）∈（g（1），g（$\frac{1}{4}$）），
即为g（x）的值域为（10，64）．
则有-m≤10，即m≥-10．
故有整数m的最小值为-10．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查对数函数的定义域的运用，考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．