Question

2．函数f（x）=ax³-3x+1，对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值集合为（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [2，4]
• C． [4，+∞）
• D． {4}

Answer 1

分析 当x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，设g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，则g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，由函数性质求出a≥4；x∈[-1，0）时，求出a≤4，由此求出a=4．

解答 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
设g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，则g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，在区间[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，
因此g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4，从而a≥4；
当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：a≤$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，在区间[-1，0）上单调递增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，从而a≤4，
综上a=4．即a的取值集合为{4}．
故选D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数和函数单调性性质的合理运用．