Question

14．若0＜α＜$\frac{π}{4}$，且sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos（2α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式求得sin2α和cos2α 的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos（2α-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，且sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cosα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos2α=2cos²α-1=$\frac{1}{3}$，
∴cos（2α-$\frac{π}{3}$）=cos2αcos$\frac{π}{3}$+sin2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$，
故答案为：$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．