Question

6．求函数y=-x²+ax+3（0≤x≤4）的最大值．

Answer 1

分析 分对称轴和闭区间的三种位置关系：轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间来讨论即可．

解答 解：∵y=-x²+ax+3=-（x-$\frac{a}{2}$）²+3+$\frac{1}{4}$a²，对称轴是x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$≥4，即a≥8时，函数y=-x²+ax+3在[0，4]上是增函数，故最大值f（4）=-13+4a；
当0＜$\frac{a}{2}$＜4，即0＜a＜8时，函数y=-x²+ax+3在[0，$\frac{a}{2}$]上是增函数，在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是减函数，故最大值f（$\frac{a}{2}$）=3+$\frac{1}{4}$a²；
当$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0时，函数y=-x²+ax+3在[0，4]上是减函数，故最大值f（0）=3，
综上得，函数y=-x²+ax+3（0≤x≤4）的最大值M=$\left\{\begin{array}{l}{3，a≤0}\\{3+\frac{{a}^{2}}{4}，0＜a＜8}\\{-13+4a，a≥8}\end{array}\right.$．

点评 本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式中带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论．