Question

4．计算：
（1）${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}}$tanxdx；
（2）${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{1}{sinxcosx}$dx；
（3）${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan²xdx．

Answer 1

分析 根据定积分的运算公式解出即可．

解答 解：（1）${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}}$tanxdx=${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{sinx}{cosx}$dx=${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{-dcosx}{cosx}$=-${∫}_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}$$\frac{du}{u}$=-lnu${|}_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}$=-（ln$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-（-ln2-$\frac{1}{2}$ln3+ln2）=$\frac{1}{2}$ln3；
（2）${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{1}{sinxcosx}$dx=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}{sinxcosx}$dx=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$（$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$）dx=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{-dcosx}{cosx}$+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$$\frac{dsinx}{sinx}$=-${∫}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}}$$\frac{du}{u}$+${∫}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\frac{dv}{v}$
=-lnu${|}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}}$+lnv${|}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-（-ln2-$\frac{1}{2}$ln2+ln2）+（$\frac{1}{2}$ln3-ln2-$\frac{1}{2}$ln2+ln2）=$\frac{1}{2}$ln3；
（3）${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan²dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$[（1+tan²x）-1]dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（$\frac{1}{{cos}^{2}x}$-1）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（$\frac{sinx}{cosx}$-x）dx=（$\frac{sinx}{cosx}$-x）${|}_{0}^{\frac{π}{4}}$=1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题考察了定积分的计算，熟练掌握运算公式是解题的关键，本题是一道中档题．