Question

5．已知抛物线C：x²=8y的焦点为F，直线y=x+2与C交于P、Q两点，则$\frac{1}{|PF|}$+$\frac{1}{|OF|}$的值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系结合抛物线定义求得$\frac{1}{|PF|}$+$\frac{1}{|OF|}$的值．

解答 解：如图，

由抛物线方程x²=8y，得焦点为F（0，2），
直线y=x+2过焦点F，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由抛物线定义可得：|PF|=x₁+2，|QF|=x₂+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，得x²-8x-16=0，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=-16，
∴$\frac{1}{|PF|}$+$\frac{1}{|OF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+2}+\frac{1}{{x}_{2}+2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{8+2}{-16+2×8+4}=\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．