Question

12．设x=1与x=3是函数f（x）=alnx+bx²+x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断x=1，x=3是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a，b的值．
（2）由（1）作出表示x，f′（x），f（x）的关系的表格；据极值的定义，求出极值点即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2bx+1，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（3）=0}\end{array}\right.$，
∴$a=-\frac{3}{4}，b=-\frac{1}{8}$
（2）x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

故在x=1处，函数f（x）取极小值；在x=3处，函数f（x）取得极大值，
故x=1是极小值点，x=3是极大值点．

点评 本题考查函数的极值点的导数的值为0、利用 导数求函数的单调性、极值．