【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)证明: 时,
;
(Ⅲ)比较三个数: ,
,
的大小(
为自然对数的底数),请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导分和
讨论其单调性,
(Ⅱ)等价于
,构造函数
利用其在
上单调性证明,再构造
利用其在
上的单调性;
(Ⅲ)由(Ⅱ)的结论,通过赋值可得证.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,因为
,
当时,
,所以函数
在
上单调递增;
当时,由
得
,,由
得
,
所以函数 在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)①因为,不等式
等价于
,令
,则
,由
得
,所以不等式
(
)等价于:
,即:
(
),由(Ⅰ)得:函数
在
上单调递增,所以
,即:
.
②因为,不等式
等价于
,令
,则
,所以
,所以函数
在
上为减函数,所以
,即
.
由①②得: 时,
(Ⅲ)由(Ⅱ)得: 时,
,所以令
,得
,即
,所以
;
又因为 (
),所以
,令
得:
,所以
,从而得
.
所以, .
点晴:本题主要考查函数单调性,不等式恒成立,及不等式的证明问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: 的离心率为
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下面结论正确的是( )
①一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式.
②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合理推理.
③在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
④“所有3的倍数都是9的倍数,某数一定是9的倍数,则
一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2﹣4ac>0;
其中正确的结论是 .
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【题目】设函数f(x)=x|x|+bx+c(b,c∈R),给出如下四个命题:①若c=0,则f(x)为奇函数;②若b=0,则函数f(x)在R上是增函数;③函数y=f(x)的图象关于点(0,c)成中心对称图形;④关于x的方程f(x)=0最多有两个实根.其中正确的命题
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