Question

11．求函数f（x）=x²-2ax+2在[-1，1]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析 对于函数f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，分对称在区间[-1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（x）在[-1，1]上的最小值．

解答 解：函数f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，其对称轴方程为x=a，
当a＜-1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，其最小值为g（a）=f（-1）=2a+3；
当-1≤a≤1时，f（x）在[-1，1]上的最小值为g（a）=f（a）=2-a²；
当a＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递减，其最小值为g（a）=f（1）=3-2a．
函数f（x）=x²-2ax+2在[-1，1]上的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}2a+3，a＜-1\\ 2-{a}^{2}，-1≤a≤1\\ 3-2a，a＞1\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．