Question

3．集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集中，至少有两个相邻的自然数作为其元素的子集有多少个？（比如{1，3，4}和{2，3，4，5}都是这样的子集，而{2，5，7，9}不是）

Answer 1

分析 考虑反面：任意两个元素的差的绝对值都不为1，以四个元素的子集为例，即可求得结果．

解答 解：考虑反面：任意两个元素的差的绝对值都不为1．
以四个元素的子集为例，不妨设a₁＜a₂＜a₃＜a₄，由于任意两个元素的差的绝对值都不为1，故
a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，a₄-a₃≥2，将a₂，a₃，a₄分别减去1，2，3，后，
这时，a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3是两两不等且至少相差1的4个正整数，
故 a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相当于从1，2，3，4，…7中任意选出的4个，
故所有的取法种数是C₇⁴，
所以任意两个元素的差的绝对值都不为1的子集有C₉²+C₈³+C₇⁴+C₆⁵=133，
所以至少有两个相邻的自然数作为其元素的子集有2¹⁰-133=891个

点评 本题考查组合及组合数公式的应用，判断a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相当于从1，2，3，4，…7中任意选出的4个，是解题的关键．