Question

已知圆C：x²+y²=4．
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程；
（2）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求动点Q的轨迹方程．
（3）若点R（1，0），在（2）的条件下，求|

RQ

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）分两种情况考虑：①直线l垂直于x轴时，可得出直线l为x=1，此时直线l与圆C的两交点距离为2

3

，满足题意；②当直线l不垂直x轴时，设直线l的斜率为k，由P及斜率k表示出直线l的方程，设圆心到直线的距离为d，由已知截取的弦长，根据垂径定理及勾股定理列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由d的值列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程；
（2）设出M及Q的坐标，根据题意表示出N的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x与y分别表示出x₀及y₀，将表示出的x₀及y₀代入圆C的方程，得到x与y的关系式，再根据由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，即可得出Q的轨迹方程；
（3）由Q及R的坐标，表示出

RQ

，利用平面向量模的计算法则表示出|

RQ

|²，由圆C的方程表示出y²，将y²代入表示出的|

RQ

|²中，得到关于x的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出|

RQ

|²的最小值，开方即可得出|

RQ

|的最小值，以及此时x的值．

解答：解：（1）分两种情况考虑：
①当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，
则l与圆的两个交点坐标为（1，

3

）和（1，-

3

），其距离为2

3

，满足题意；（1分）
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，（2分）
设圆心到此直线的距离为d，
则2

3

=2

4-d2

，解得：d=1，
∴1=

|-k-2|

k2+1

，解得：k=

3

4

，
故所求直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1；（5分）
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀），Q点坐标为（x，y），
则N点坐标是（x₀，0），
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（2x₀，y₀），即x₀=

x

2

，y₀=y，
又∵x₀²+y₀²=4，∴

x2

4

+y²=4，（8分）
由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，
∴Q点的轨迹方程是

x2

4

+y²=4（x≠0）；（9分）
（3）设Q坐标为（x，y），R（1，0），
∴

RQ

=（x-1，y），
∴|

RQ

|²=（x-1）²+y²，（10分）
又

x2

4

+y²=4（x≠0），
∴|

RQ

|²=（x-1）²+y²=（x-1）²+4-

x2

4

=

3(x- 4 3 )2+ 44 3

4

≥

11

3

，（12分）
∵x∈[-4，0）∪（0，4]，
∴x=

4

3

时，|

RQ

|取到最小值

33

3

．（13分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．