Question

【题目】如图所示,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,△BCE是等边三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.

(1)证明:平面ABE⊥平面BCE;

(2)求二面角A-DE-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,证得AO⊥BE,CO⊥BE和AO⊥CO，利用面面垂直的判定定理，即可证明；

(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ADE和平面DEC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,易知AO⊥BE,CO⊥BE.设AC=BC=2,则AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AO⊥CO.又AO∩BE=O,所以CO⊥平面ABE.

又CO平面BCE,故平面ABE⊥平面BCE.

(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,

设OE=1,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,,0),易得D(1,,1),故=(1,,0),=(1,0,-1),

=(-1,,0),=(1,0,1).设n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则即令y1=1,可得n=(-,1,-).设m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,则即令y2=1,可得m=(,1,-),则cos<n,m>==.

易知二面角A-DE-C为锐角,所以二面角A-DE-C的余弦值为.