Question

关于x的不等式ax²-ax+1＜0的解集是空集，那么a的取值区间是

[0，4]

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：（i）当a=0时，原不等式的解集显然为空集；（ii）当a不为0时，设原不等式左边为y，可得y与x的二次函数，根据函数值小于0为空集，即要此二次函数的开口向上，且与x轴有一个或没有交点，即根的判别式小于或等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集可得出a的范围，综上，得到a的取值区间．

解答：解：（i）当a=0时，原不等式的解集显然为空集；
（ii）当a≠0时，设y=ax²-ax+1，要使ax²-ax+1＜0的解集是空集，
则二次函数y=ax²-ax+1的图象开口向上且与x轴没有或只有一个交点，
∴a＞0且a²-4a≤0，
把a²-4a≥0变形得：a（a-4）≤0，
可化为：

a≥0 a-4≤0

或

a≤0 a-4≥0

，
解得：0≤a≤4，又a＞0，
∴此时a的范围为0＜a≤4，
综上，a的取值区间为[0，4]．
故答案为：[0，4]

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点，一元一次不等式的解法，以及空集的意义，利用了分类讨论及转化的思想，是高考中常考的基本题型．