Question

在△ABC中，已知

a+b

a

=

sinB

sinB-sinA

，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）求

a+c

b

的范围．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin²C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b²=a²+c²，推断出三角形为直角三角形．
（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：（1）由

a+b

a

=

sinB

sinB-sinA

，可得cos2C+cosC=1-cos（A-B）
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根据正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（2）由正弦定理化简

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=sinA+sinC=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
∵

2

2

≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，

π

2

）即1＜

2

sin（A+45°）≤

2

，
则

a+c

b

的取值范围是（1，

2

]．

点评：本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．