Question

在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且2a₁，2a₂+2，5a₃-1成等比数列．
（1）求d，a_n；     
（2）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比数列的前n项和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）直接由已知条件a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃-1成等比数列列式求出公差，则通项公式a_n可求；
（2）利用（1）中的结论，得到等差数列{a_n}的前3项大于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的和．

解答： 解：（1）由题意得2a₁•（5a₃-1）=（2a₂+2）²，整理得d²-28d-124=0．解得d=32或d=-4．
当d=32时，a_n=a₁+（n-1）d=10+32（n-1）=32n-22．
当d=-4时，a_n=a₁+（n-1）d=10-4（n-1）=-4n+14．
所以a_n=32n-22或a_n=-4n+14；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，因为d＜0，由（1）得d=-4，a_n=-4n+14．
则当n≤3时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=n（-2n+12）．
当n≥4时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n+2S₃=2n²-12n+36．
综上所述，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

n(-2n+12)，n≤3 2n2-12n+36，n≥4

．

点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．