Question

设函数f（x）=x³-m1nx，g（x）=x³-3x+a．
（Ⅰ）当a=0时，f（x）≥g（x）在（1，∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=6时，若函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m，使函数f（x）和g（x）在其公共定义域上具有相同的单调性，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，m≤(

x

lnx

)min，由此利用导数性质能求出实数m的取值范围．
（Ⅱ）m=6时，h（x）=f（x）-g（x）=3x-6lnx-a，h′（x）=3-

6

x

=

3(x-2)

x

，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）在公共定义域内，g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，由此利用导数性质能求出存在m，其值为3．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，∵x＞1，lnx＞0，∴f（x）≥g（x），
∴m≤

x

lnx

，∴m≤(

x

lnx

)min，
令m（x）=

x

lnx

，∴m′(x)=

lnx-1

(lnx)2

，
由m′（x）＞0，得x＞e，由m′（x）＜0，得0＜x＜e．
∴m（x）要（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
故x=e时，[m（x）]_min=e，∴m≤e．
∴实数m的取值范围是（-∞，e]．
（Ⅱ）m=6时，h（x）=f（x）-g（x）=3x-6lnx-a，
h′（x）=3-

6

x

=

3(x-2)

x

，
由h′（x）＞0，得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，
∵1≤x≤3，∴h（x）在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，
h（1）=3-a，h（2）=6-6ln2-a，h（3）=9-6ln3-a，h（3）＜h（1），
由题意知h（2）＜0，h（3）＞0，
∴6-6ln2＜a≤9-6ln3．
∴实数a的取值范围是（6-6ln2，9-6ln3]．
（Ⅲ）在公共定义域内，g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
故意在m，符合题意，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
故f′（1）=0，
∵f′(x)=3x2-

m

x

，∴由f′（1）=0，得m=3，
经检验符合，故存在m，其值为3．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．