Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足：sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，且16a²+16b²-13c²=0．若△ABC的面积为

3 15

4

，则a+b值为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：由sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，左边展开可得sinC，再利用倍角公式可得cosC，利用平方关系可得
sinC．由16a²+16b²-13c²=0．和余弦定理可得6（a²+b²）=13ab．再利用△ABC的面积为

3 15

4

，可得

1

2

absinC=

1

2

ab×

15

4

=

3 15

4

，ab=6．进而得出a+b．

解答： 解：由sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，
∵sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinC=-2sin2C=-4sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=-

1

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

15

4

．
∵16a²+16b²-13c²=0．∴-

1

4

=cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2- 16 13 (a2+b2)

2ab

，化为6（a²+b²）=13ab．
∵△ABC的面积为

3 15

4

，∴

1

2

absinC=

1

2

ab×

15

4

=

3 15

4

，化为ab=6．
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=

13

6

ab+2ab=

25

6

×6=25．
∴a+b=5．
故选：A．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．