Question

17．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面所成的二面角为θ，AD与BF夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，试求θ的值．

Answer 1

分析 由AD∥BC，得cos∠CBF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，设AB=1，由余弦定理得CF=$\sqrt{2}$，由AB⊥AF，AB⊥AD，得∠CDF=90°，DF=1，∠DAF是D-AB-F的平面角，由此能求出θ．

解答 解：∵AD∥BC，AD与BF夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cos∠CBF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
设AB=1，
由余弦定理得：
CF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{C}^{2}-2×BF×BC×cos∠CBF}$
=$\sqrt{2+1-2×\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{2}$，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF，∴AB⊥DF，
∵CD∥AB，∴∠CDF=90°，∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，
∴AF=AD=DF=1，∴∠DAF=60°，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴∠DAF是D-AB-F的平面角．∴二面角D-AB-F是60°．
∴θ=60°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题要认真审题，注意余弦定理的合理运用．