Question

4．已知抛物线C：y²=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，则k=8．

Answer 1

分析 设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x₁，y₁-2）（x₂，y₂-2）=0，即可求得k的值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．x₁x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-4，
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，（x₁，y₁-2）（x₂，y₂-2）=0，即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，解得：k=8．
故答案为：1．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．