Question

12．团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．
（Ⅰ）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（Ⅱ）从所调查的50家商家中任选两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“η≥2”的概率．

Answer 1

分析 （I）设“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等”为事件A，则$\overline{A}$表示事件“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等”，则P（A）=1-P$（\overline{A}）$．
（II）ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{5}^{2}+{∁}_{25}^{2}+{∁}_{20}^{2}}{{∁}_{50}^{2}}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{25}^{1}+{∁}_{25}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$．即可得出ξ的分布列与数学期望．
（III）所调查的50家商家中加入两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P=$\frac{25}{50}$=$\frac{1}{2}$，可得η～B$（3，\frac{1}{2}）$，事件“η≥2”的概率P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3），即可得出．

解答 解：（I）设“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等”为事件A，则$\overline{A}$表示事件“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等”，则P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-$\frac{{∁}_{5}^{2}+{∁}_{25}^{2}+{∁}_{20}^{2}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{29}{49}$．
（II）ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{5}^{2}+{∁}_{25}^{2}+{∁}_{20}^{2}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{20}{49}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{25}^{1}+{∁}_{25}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{25}{49}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{4}{49}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

E（X）=0×$\frac{20}{49}$+1×$\frac{25}{49}$+2×$\frac{4}{49}$=$\frac{33}{49}$．
（III）所调查的50家商家中加入两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P=$\frac{25}{50}$=$\frac{1}{2}$，可得η～B$（3，\frac{1}{2}）$，事件“η≥2”的概率
P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3）=${∁}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）$+${∁}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、二项分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．