Question

2．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 设需要n天时间才能打穿，则$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$≥500，化为：2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499≥0，令f（n）=2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499，f（x）=${2}^{x}-\frac{2}{{2}^{x}}$-499，（x≥1）．利用函数零点存在定理与函数的单调性即可得出．

解答 解：设需要n天时间才能打穿，则$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$≥500，
化为：2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499≥0，
令f（n）=2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499，则f（8）=${2}^{8}-\frac{2}{{2}^{8}}$-499=-$\frac{1}{{2}^{7}}$-243＜0．
f（9）=2⁹-$\frac{2}{{2}^{9}}$-499=13-$\frac{1}{{2}^{8}}$＞0．
f（x）=${2}^{x}-\frac{2}{{2}^{x}}$-499，（x≥1）．
∴f（x）在（8，9）内存在一个零点．
又函数f（x）在x≥1时单调递增，因此f（x）在（8，9）内存在唯一一个零点．
∴需要9天时间才能打穿．
故选：D．

点评 本题考查了函数零点存在定理与函数的单调性、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．