Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x；
（I）求证：对?a＞0，f（x）≤ax²；
（II）证明：ln（n+1）≤，（n∈N^*）；
（III）求证：对?t∈R，e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²-≥0．

Answer 1

解：（I）只需证明f（x）的最大值为O即可，f′（x）=-1，令f′（x）=0，得x=0，
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0．当x＞0时，f′（x）＜0
∴x=0是f（x）唯一的极大值点，故f（x）的最大值=f（0）=0
∵a＞0，∴ax²≥0
从而 f（x）≤ax²（4分）
（II）由（I）当x＞-1时，f（x）≤ax²，即
ln（1+x）≤x+x²=x（1+x）
令x= 得ln（1+）=ln（1+n）-lnn≤
∴ln2-ln1≤，ln3-ln2≤…
ln（1+n）-lnn≤
上面n个不等式相加，得ln（1+n）≤ （9分）
（III）由（I）得x＞-1时 ln（1+x）≤x即e^x-x≥1
∴=2×≤2×=e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²，
∴e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²-≥0 （14分）
分析：（I）只需证明f（x）的最大值为O即可，利用导数研究此函数的最大值，从而得出结论；
（II）第II问取a=1这特殊情形，将连续型函数转化为间断型数列求和，用裂项法处理．第II问由左边的一项到右边的n项，肯定是由几个不等式累加而成；
（III）第III问用分析法将不等式左边重新组合，再配方，利用重要不等式进行放缩即可．
点评：本题第I问主要考查用导数方法研究函数性态，处理不等式恒成立问题为后面两问提供“工具”．第II问取a=1这特殊情形，将连续型函数转化为间断型数列求和，用裂项法处理．第III问将第I问提供的工具变形后再用，其中考查了利用重要不等式放缩这一技巧．对转化与化归思想要求较高，属于难题．