Question

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）m＝0， .此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）满足条件的、存在，且或，．

试题分析：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．
由消去得…①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  
则x₁,x₂是方程①的两根，x₁＋x₂＝.
　　由　消去y得.         ………………②
因为C₂的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即.                     　　 …………………③
由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂＝.
从而＝. 解得　　　……………………④
又AB过C_1，C₂的焦点，所以
，
则   …………………………………⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因为C₂的焦点在直线上，所以.
　或．
由上知，满足条件的、存在，且或，．
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题解答过程中，主要运用了抛物线的几何性质。结合抛物线的焦半径公式，建立了k的方程。