Question

【题目】若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．

(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；

(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）(9，16).

【解析】试题分析：（1）)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥ (x＞0)恒成立，求函数最值即可；

（2）由f(x)＝0，得t=，即可解＞20即可.

试题解析：

(1)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥ (x＞0)恒成立，

由＝≤＝30(x＞0)，

当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立，

所以当t≥30时，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值为30.

(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，所以使t＞20成立的x的取值范围为(9，16).