Question

在直三棱柱中，ABC-A′B′C′，AB=AC=AA′=2，BC=

3

AB且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则此球的体积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：在△ABC中结合正余弦定理，算出它的外接圆半径R=2，设三棱柱外接球的球心为O，△ABC的外接圆心为O₁，在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出OA的长，即为外接球的半径，最后根据球的体积公式，可得三棱柱外接球的体积．

解答： 解：∵△ABC中，AB=AC=2，BC=

3

AB=2

3

∴cos∠BAC=-

1

2

，结合∠BAC∈（0，π）得∠BAC=120°
再根据正弦定理，得△ABC的外接圆直径2R=

BC

sinA

=4，即R=2
设三棱柱外接球的球心为O，△ABC的外接圆心为O₁，则OO₁=

1

2

AA'=1
可得OA=

5

∴外接球的体积为S=

4

3

π•OA³=

20 5

3

π．
故答案为：

20 5

3

π．

点评：本题给出特殊三棱柱，求它的外接球体积，着重考查了直三棱柱的性质、球的体积公式和多面体的外接球等知识，属于基础题．