Question

10．设变量x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y＜1\\ 2x+y≥1\end{array}}\right.$，则目标函数z=-2y-3x的（　　）

• A． 最大值为$-\frac{5}{3}$，最小值为$-\frac{5}{2}$
• B． 最大值为$-\frac{5}{3}$，最小值不存在
• C． 最大值为-2，最小值不存在
• D． 最大值不存在，最小值为$-\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：作出不等式组对于的平面区域如图：
由z=-2y-3x，则y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$，
平移直线y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$经过点A时，直线y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，
经过点B时，直线y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
此时z_min=-2×$\frac{1}{2}$-3×$\frac{1}{2}$=$-\frac{5}{2}$，
z_max=-2×$\frac{1}{3}$-3×$\frac{1}{3}$=$-\frac{5}{3}$，
故$-\frac{5}{2}$＜z≤$-\frac{5}{3}$，
即最大值为$-\frac{5}{3}$，最小值不存在，
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．