Question

已知函数f（x）定义在R上，对?x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：y=f（x）是偶函数；
（3）若存在常数c，使f(

c

2

)=0．①求证：对?x∈R，有f（x+c）=-f（x）；②求证：y=f（x）是周期函数．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0代入恒等式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），求解即得．
（2）令x=0代入恒等式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），整理即可得到f（y）=f（-y），可证得其为偶函数．
（3）①在恒等式中将x换成x+

c

2

，把y换成

c

2

，结合f(

c

2

)=0整理即得结论；②由①的结论f（x+c）=-f（x）可以得到f（x+c）=-f（x）=f（x-c），即得周期为2c．

解答：解：（1）证明：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）
令x=y=0得f（0）+f（0）=2f²（0），
又∵f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）证明：在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）中，
令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）•f（y）=2f（y），
∴f（y）=f（-y）
∴f（x）是偶函数
（3）①在已知等式中把x换成x+

c

2

，把y换成

c

2

，且由f(

c

2

)=0得f(x+

c

2

+

c

2

)+f(x+

c

2

-

c

2

)=2f(x+

c

2

)•f(

c

2

)=0，
∴f（x+c）=-f（x）
②由=1 ①知对?x∈R，有f（x+c）=-f（x），
∴f（x+2c）=-f（x+c），代入得f（x+2c）=f（x），
∴f（x）是以T=2c为一个周期的周期函数．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查利用赋值的办法求值即证明等式，此类题的特征是根据题中所给的相关性质灵活赋值以达到求值或者证明命题的目的．本题综合性较强，对观察能力与灵活变形能力要求较高．