Question

11．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x+b}{x-b}（a＞0，b＞0，a≠1）$
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性（不必证明）；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义结合对数的运算性质，可证出f（-x）=-f（x），得f（x）为奇函数；
（2）根据对数函数的图象和性质，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，可得f（x）的单调性；
（3）根据对数函数的图象和性质，反比例型函数的图象和性质，可分析出f（x）的值域．

解答 解：（1）函数$f（x）={log_a}\frac{x+b}{x-b}（a＞0，b＞0，a≠1）$
的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞），
由f（x）的定义域是关于原点对称的区间，
f（-x）=log_a$\frac{-x+b}{-x-b}$=log_a$\frac{x-b}{x+b}$，
∵-f（x）=log_a（$\frac{x+b}{x-b}$）^-1=log_a$\frac{x-b}{x+b}$，
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数，
（3）当a＞1时，
若x∈（b，+∞），则$\frac{x+b}{x-b}$∈（1，+∞），f（x）∈（0，+∞），
若x∈（-∞，-b），则$\frac{x+b}{x-b}$∈（0，1），f（x）∈（-∞，0），
综上所述，f（x）的值域为：（-∞，0）∪（0，+∞），
当0＜a＜1时，
若x∈（b，+∞），则$\frac{x+b}{x-b}$∈（1，+∞），f（x）∈（-∞，0），
若x∈（-∞，-b），则$\frac{x+b}{x-b}$∈（0，1），f（x）∈（0，+∞），
综上所述，f（x）的值域为：（-∞，0）∪（0，+∞），
当a＞11时，
若x∈（b，+∞），则$\frac{x+b}{x-b}$∈（1，+∞），f（x）∈（0，+∞），
若x∈（-∞，-b），则$\frac{x+b}{x-b}$∈（0，1），f（x）∈（-∞，0），
综上所述，f（x）的值域为：（-∞，0）∪（0，+∞），

点评 本题给出含有分式的对数形式的函数，求函数的定义域并求函数的单调性、奇偶性．着重考查了函数奇偶性的判断、函数的定义域及其求法和函数单调性的判断与证明等知识，属于基础题．