Question

（2008•湖北模拟）如图，设F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN；
（Ⅲ）求三角形△ABF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，知e=

1

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意，当AB的斜率不为0时，设AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0．△=576（m²-4），yA+yB=

48m

3m2+4

，yAyB=

144

3m2+4

．由此能够证明对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）S△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，当且仅当m=±

2 21

3

取到等号．由此能求出三角形△ABF面积的最大值．

解答：解：（1）∵|MN|=8，
∴a=4，
又∵|PM|=2|MF|，
∴e=

1

2

，
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．  （3分）
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意，
当AB的斜率不为0时，设AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0．
△=576（m²-4），yA+yB=

48m

3m2+4

，yAyB=

144

3m2+4

．
则kAF+kBF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

myA-6

+

yB

myB-6

=

yA(myB-6)+yB(myA-6)

(myA-6)(myB-6)

=

2myAyB-6(yA+yB)

(myA-6)(myB-6)

，
而2myAyB-6(yA+yB)=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．（8分）
（3）S△ABF=S△PBF-S△PAF=

1

2

|PF|•|yB-yA|=

72 m2-4

3m2+4

，
即：S△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，
当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

（此时适合于△＞0的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是3

3

．       （13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．