Question

将圆x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圆O，直线l与圆O相交于A、B，若在圆O上存在点C，使

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，求直线l的方程及对应的点C坐标．

Answer 1

分析：先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点C的坐标的解析式，把点C的坐标代入圆的方程，可解得m值，即得点C坐标．

解答：解：将圆的方程x²+y²-2x+4y=0化为（x-1）²+（y+2）²=5，
∴圆x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圆x²+y²=5，
∵

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，又|

OA

|=|

OB

|=

5

，
∴AB⊥OC，

OC

∥

a

，
∴直线l的斜率k=

1

2

，设直线l的方程为y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2+y2=5

得 5x²+4mx+4m²-20=0，△=16m²-20（4m²-20）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4m

5

，y1+y2=

8m

5

∴

OC

=(-

4m

5

，

8m

5

)，∵点C(-

4m

5

，

8m

5

)在圆上，∴(-

4m

5

)2+(

8m

5

)2=5
解得m=±

5

4

，满足△=16m²-20（4m²-20）＞0
当m=

5

4

时，l的方程为2x-4y+5=0，点C坐标为（-1，2）；
当m=-

5

4

时，l的方程为2x-4y-5=0，点C坐标为（1，-2）．

点评：本题考查向量在几何中的应用，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，体现了数形结合的数学思想．