Question

【题目】已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题：

①当为正三角形时，的值为；

②存在点，使得；

③若，则等于；

④的最小值为，则等于或.

其中正确的是（ ）

A.①③④B.②③C.①③D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

对于①可知，当为正三角形时与准线垂直，画出图形结合几何关系即可求得的值；对于②根据向量关系可知，结合点的位置即可判断；对于③，作出几何图形，根据线段比例关系即可求得的值；对于④，作关于准线的对称点，连接交准线于，可知即为的最小值，根据线段几何关系及最小值即可求得的值.

对于①，当为正三角形时，如下图所示，

抛物线的准线交轴于，

,由抛物线定义可知，则与准线垂直，

所以，

则，所以,

而，即，所以①正确；

对于②，假设存在点，使得，即，

所以点为的中点，

由抛物线图像与性质可知，为抛物线上一点，为焦点，线段在轴右侧，

点在抛物线准线上，在轴左侧，因而不可能为的中点，所以②错误；

对于③，若，则，作垂直于准线并交于，准线交轴于，如下图所示：

由抛物线定义可知，

根据相似三角形中对应线段成比例可知，即，

解得，所以③正确；

对于④，作关于准线的对称点，连接交准线于，作垂直于准线并交于，作垂直于轴并交于，如下图所示：

根据对称性可知，此时即为的最小值，

由抛物线定义可知，所以的横坐标为，

代入抛物线可知，

的最小值为，，

则，即，

化简可得，即，

解得或，所以④正确；

综上所述，正确的为①③④.

故选：A.