Question

【题目】已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，，对于函数，若存在，，使得，则称函数是“函数”.

（1）判断函数，是否是“函数”；

（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值；

（3）若函数是“函数”，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）1；（3），且，.

【解析】

（1）举例说明函数是函数，证明函数不是“函数”；

（2）假设，得到矛盾，再证明得证；

（3）对分三种情况讨论得解.

（1）对于函数是函数，设，

则，，

所以存在，，使得，所以函数是“函数”.

对于函数，函数的最小正周期为,函数的图象如图所示，

不妨研究函数在[0,1]这个周期的图象.

设，,则,

所以，

所以函数不是“函数”.

综合得函数是“函数”，函数不是“函数”.

（2）的最小值为1．

因为是以为最小正周期的周期函数，所以．

假设，则，所以，矛盾．

所以必有.

而函数的周期为1，且显然不是函数，

综上所述，的最小值为1．

（3）当函数是“函数”时，

若，则显然不是函数，矛盾．

若，则，

所以在，上单调递增，

此时不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不会出现的情形，

所以此时不是函数．

当时，设，所以，

所以有，其中，

当时，

因为，所以，

所以，

当时，，

因为，所以，

所以，

综上所述，，且，.