Question

【题目】．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设．

（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算；

（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：；

（Ⅲ）若，，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）依题意可得，， ．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．得数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知，，得．进而．再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．

（Ⅰ）依题意可得，． ．

（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．

而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．

对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．

因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．

所以．

（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，，

所以．所以．

考查定积分，将区间[1，n]分成n﹣1等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为． 所以．

所以g（n）．

所以g（n）﹣1g（n）+1．

所以g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．