Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过原点且倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若相交于不同的两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）： ，：；（2）

【解析】

（1）利用同角的三角函数关系式中的平方和关系，把曲线的参数方程化成普通方程，再利用直角坐标方程和极坐标方程互化公式，把曲线的直角坐标方程化成极坐标方程.根据已知直接写出直线的极坐标方程；

（2）将直线与曲线的极坐标方程联立，根据一元二次方程根的判别式，结合一元二次方程根与系数关系、极径的定义、正弦函数的最值进行求解即可.

解：（1）由（为参数）有：，

所以：的极坐标方程为：，

直线的极坐标方程为：.

（2）联立：有：

根据题有：，所以：.

在极坐标系下设、，所以：，.

所以：.

因为：，所以：

所以：取值范围为：.