Question

9．已知二次函数f（x）=x²+mx+1（m为整数）且关于x的方程f（x）-2=0在区间$（-3，\frac{1}{2}）$内有两个不同的实根，
（1）求整数m的值；
（2）若对一切$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，不等式$f（x+t）＜f（\frac{x}{2}）$恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用方程根的分布把方程f（x）-2=0在区间$（-3，\frac{1}{2}）$内有两个不同的实根转化为关于m的不等式组得答案；
（2）由对一切$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，不等式$f（x+t）＜f（\frac{x}{2}）$恒成立，得到$（x+2t）（x+\frac{2t+4}{3}）＜0$，然后对t分类讨论得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+mx+1，∴f（x）-2=x²+mx-1=0，
问题化为x²+mx-1=0在区间$（-3，\frac{1}{2}）$内有两个不同的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）＞0}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\\{-3＜-\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}}\\{△={m}^{2}+4＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{2}＜m＜\frac{8}{3}$．
又m∈Z，∴m=2；
（2）由（1）得f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
由$f（x+t）＜f（\frac{x}{2}）$，得$（x+2t）（x+\frac{2t+4}{3}）＜0$．
当-2t$＜-\frac{2t+4}{3}$，即t＞1时，$-2t＜x＜-\frac{2t+4}{3}$，
此不等式对一切$x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$都成立的等价条件是$\left\{\begin{array}{l}-2t＜-\frac{1}{2}\\-\frac{2t+4}{3}＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，此不等式组无解．
当-2t=$-\frac{2t+4}{3}$，即t=1时，（x+2t）²＜0，矛盾．
当-2t$＞-\frac{2t+4}{3}$，即t＜1时，-2t$＞x＞-\frac{2t+4}{3}$，
此不等式对一切$x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$都成立的等价条件是$\left\{\begin{array}{l}-2t＞\frac{1}{2}\\-\frac{2t+4}{3}＜-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$-\frac{5}{4}＜t＜-\frac{1}{4}$．
综合可知，实数t的取值范围是（$-\frac{5}{4}，-\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查二次函数的性质，考查了不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．