Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数存在两个零点.

①实数的取值范围；

②证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②详见解析.

【解析】

（1）求得的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；

（2）①求得的导数，讨论的符号，求得单调性，结合函数的零点，可得最小值小于，解不等式可得的范围；

②由题意可得，作差可得，运用分析法证明，转化为证明，设，可得，设，求得导数，判断单调性，即可得证．

（1）函数的导函数为，

可得在处切线的斜率为，

则切线方程为，即.

（2）

①函数的导函数为，

若，则在上递增，不成立；

当时，在时递增，在时递减，

所以在处取得极小值，且为最小值，

由题意可得，解得.

②依题意可得，

两式相减并化简得，要证，

即证，

即为，即为，即为，

由可得，设，

可得，

设，

，

则在递增，而，所以，

所以，

则.