Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1．
（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；
（2）若m=6，
①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明： 是定值，并求出这个定值．

Answer 1

解：（1）由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，
所以实数m的取值范围是（4，8）；
（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为，
①设点P坐标为（x，y），则，
因为点M的坐标为（1，0），
所以PM²=（x-1）²+y²===，，
所以当x=时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（）；
②由a²=6，b²=2，得c²=4，即c=2，
从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点H（x₀，y₀），
则，，
两式相减得，，即，
令k=k_AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y₀=-（x-x₀），
令y=0，则x_N=ky₀+x₀=，
因为F（2，0），所以FN=|x_N-2|=，
因为AB=AF+BF=e（3-x₁）+e（3-x₂）=|x₀-3|．
故==，即为定值．
分析：（1）由焦点在x轴上得，m＞8-m＞0，解出即可；
（2）①设点P坐标为（x，y），则，由两点间距离公式可表示出PM²，根据二次函数的性质即可求得PM²的最小值，从而得到PM的最小值，注意x的取值范围；②易求焦点F的坐标及右准线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点H（x₀，y₀），利用平方差法可用H坐标表示直线AB的斜率，用点斜式写出AB中垂线方程，从而得点N横坐标，进而得到线段FN的长，由第二定义可表示出线段AB长， 是定值可证；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及椭圆的第二定义，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．